文章标题-白红宇

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发布时间：2019-05-24

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写这篇博客主要来源ARAP paper中的一段话

那么为什么第一基本范式和第二基本范式可以描述surface的stretching和bending.

设在平面uov中, 向量

[10] $\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}$ 和

[01] $\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}$ 经过

f $f$ 和

f′

$f'$ 的映射后分别变成

df[10] $df\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}$ ,

df[01] $df\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}$ 和

df′[10] $df'\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}$ ,

df′[01] $df'\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}$

第一项measure stretching, 用的是向量内积的变化

(< d f' [10], d f' [01] > - < d f [10], d f [01] >) 2 = ([10] < d f', d f' > [01] - [10] < d f, d f > [01]) 2 = ([10] I' [01] - [10] I [01]) 2 = ([10] (I' - I) [01]) 2

$\begin{align}&(<df'\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix},df'\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}>-<df\begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix},df\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}>)^2\\&=(\begin{bmatrix} 1& 0\end{bmatrix}<df',df'>\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1& 0\end{bmatrix}<df,df>\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix})^2\\&=(\begin{bmatrix} 1& 0\end{bmatrix}I'\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1& 0\end{bmatrix}I\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix})^2\\&=(\begin{bmatrix} 1& 0\end{bmatrix}(I'-I)\begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix})^2\end{align}$

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